问题提出
生活中我们长长要进行评价，由于层次分析法决策层不能太多，而且构造判断矩阵相对主观，因此引入Topsis法
例：A想找个对象，但是喜欢他的人太多，不知道怎么选择，经过层层考察，留下三个候选人。
| 候选人 | 颜值 | 脾气（争吵次数） |
| A | 9 | 10 |
| B | 8 | 7 |
| C | 6 | 3 |
在理想状态下：
- 最好的对象应该是颜值9，脾气3
- 最差的对象应该是颜值6，脾气10
- 把（9,3），（6,10）作为二维平面上的一个点
- 距离最优点最近或者距离最差点最远的就是综合条件最好的
基本概念
TOPSIS法是一种常用的总和评价方法，能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。
TOPSIS法引入两个基本概念：
理想解：设想的最优解（方案），它的各个属性值都达到各备选方案中的最好的值。
负理想解：设想的最劣的解（方案），它的各个属性值都达到各备选方案中的最坏的值。
方案排序的规则是把各备选方案与理想解和负理想解作比较，若其中有一个方案最接近理想解，而同时又远离负理想解，则该方案是备选方案中最好的方案。TOPSIS通过最接近理想解且最远离负理想解来确定最优选择
模型原理
TOPSIS法是一种理想目标相似性的顺序选优技术，在多目标决策分析中是一种非常有效的方法。它通过归一化后的数据规范化矩阵，找出多个目标中最优目标和最劣目标，分别计算各评价目标与理想解和反理想解的距离，获得各目标与理想解的贴近度，按理想解贴近度的大小排序，以此作为评价目标优劣的依据。贴近度取值在0~1之间，该值越接近1，表示相应的评价目标越接近最优水平；反之，该值越接近0，表示评价目标越接近最劣水平。
基本步骤
- 将原始矩阵正向化，就是要将所有的指标类型统一转化为极大性指标。
- 正向矩阵标准化，标准化的方法有很多，其主要目的就是去除量纲的影响，保证不同评价指标在同一数量级，且数据大小排序不变。
- 计算得分并归一化
\(S_{i}=\frac{D_{i}^{-}}{D_{i}^{+}+D_{i}^{-}}\)
其中\(S_{i}\)为得分，\(D_{i}^{+}\)为评价对象与最大值的距离，\(D_{i}^{-}\)为评价对象与最小值的距离
继续完善例题
A考虑到觉得光靠颜值和脾气可能考虑的不够全面，就又加上了身高和体重两个指标，而且他认为身高165是最好，体重在90-100斤是最好。
| 候选人 | 颜值 | 脾气（争吵次数） | 身高 | 体重 |
| A | 9 | 10 | 175 | 120 |
| B | 8 | 7 | 164 | 80 |
| C | 6 | 3 | 157 | 90 |
在增加了多项指标后，我们发现不同指标的最优趋向并不相同，如果简单的将其画图，并不能得到最优点，因此我们需要将原始矩阵正向化。
原始矩阵正向化
| 指标名称 | 指标特点 | 例子 |
| 极大性（效益型）指标 | 越大（多）越好 | 颜值、成绩、GDP |
| 极小型（成本型）指标 | 越小（少）越好 | 脾气、费用、坏品率 |
| 中间型指标 | 越接近某个值越好 | 身高、水质PH值 |
| 区间型指标 | 落在某个区间最好 | 体重、体温 |
将原始矩阵正向化，就是要将所有的指标类型统一转化为极大性指标。
| 指标名称 | 公式 |
| 极大型（效益型）指标 | / |
| 极小型（成本型）指标 | \(\tilde{x}=max-x\)，\(\tilde{x}\)为转化后指标，max为指标最大值，x为指标值 |
| 中间型指标 | \(\left\{ x_{i}\right\}\)是一组中间型序列，最优值是\(x_{best}\),\(M=max\left\{\left | x_{i}-x_{best}\right |\right\}\),\(\tilde{x}_{i}=1-\frac{\left | x_{i}-x_{best}\right | }{M}\) |
| 区间型指标 | \(\left\{ x_{i}\right\}\)是一组区间型序列，最佳区间为[a,b]，正向化公式如下，\(M=max\left\{a-min\left\{x_{i}\right\},max\left\{x_{i}\right\}-b\right\}\),\(\tilde{x}_{i}=\begin{cases} 1-\frac{a-x_{i}}{M},x_{i}<a\\ 1,a\le x_{i}\le b\\1-\frac{x_{i}-b}{M},x_{i}>b\end{cases}\) |
极小型指标正向化：
| 候选人 | 脾气（争吵次数） |
| A | 10 |
| B | 7 |
| C | 3 |
根据公式可得转化为极大性指标的数据：
A=10-10=0，B=10-7=3，C=10-3=7
中间型指标正向化
| 候选人 | 身高 |
| A | 175 |
| B | 164 |
| C | 157 |
\(\left\{ x_{i}\right\}\)={175,164,175},最优值\(x_{best}\)为165，\(M_{A}=10,M_{B}=1,M_{C}=8\),其中最大值为10，因此M=10,\(\tilde{x}_{ia}=1,\tilde{x}_{ib}=\frac{1}{10},\tilde{x}_{ic}=\frac{8}{10}\)
区间型指标正向化
| 候选人 | 体重 |
| A | 120 |
| B | 80 |
| C | 90 |
其中最佳区间为[90,100]，根据公式可得M=max{90-80,120-100}=20
候选人B=80<90区间适用公式B=\(1-\frac{a-x_{i}}{M}\)=\(\frac{1}{2}\)
候选人C=90在区间内适用公式C=1
候选人A大于区间适用公式A=\(1-\frac{x_{i}-b}{M}\)=0
经过矩阵正向化后将所有指标转化为极大型指标
| 候选人 | 颜值 | 脾气 | 身高 | 体重 |
| A | 9 | 0 | 0 | 0 |
| B | 8 | 3 | 0.9 | 0.5 |
| C | 6 | 7 | 0.2 | 1 |
正向化矩阵标准化
标准化的目的是消除不同指标量纲的影响，与归一化类似。
对于标准化矩阵记为Z，Z中的每一个元素：
\(Z_{ij}=\frac{x_{ij} }{\sqrt{ {\textstyle \sum_{i=1}^{n}}a_{ij}^{2}}}\)
(每一个元素除以根号下其所在列的元素的平方和)
标准化后，还需给不同指标加上权重，采用的权重确定方法有层次分析法、熵权法、Delphi法、对数最小二乘法等。在本例里认为各个指标的权重相同。
经过正向化标准化后的矩阵如下：
| 候选人 | 颜值 | 脾气 | 身高 | 体重 |
| A | 0.669 | 0 | 0 | 0 |
| B | 0.595 | 0.394 | 0.976 | 0.447 |
| C | 0.446 | 0.919 | 0.217 | 0.894 |
其中以A颜值为例，计算标准化矩阵：
\(A=\frac{9}{\sqrt{9^2+8^2+6^2 }}\)
计算得分并归一化
经过上一步得到标准化矩阵Z
定义最大值为\(Z^+\)=矩阵每列最大值既\((Z_1^+,Z_2^+,…,Z_n^+)\)
定义最小值为\(Z^-\)=矩阵每列最小值既\((Z_1^-,Z_2^-,…,Z_n^-)\)
定义第i个评价指标与最大值的距离\(D_{i}^{+} =\sqrt{ {\textstyle \sum_{j=1}^{m}\left ( Z_{j}^{+}-Z_{ij} \right )^2 } }\)
定义第i个评价指标与最小值的距离\(D_{i}^{-} =\sqrt{ {\textstyle \sum_{j=1}^{m}\left ( Z_{j}^{-}-Z_{ij} \right )^2 } }\)
那么我们可以计算出所有i个评价对象未归一化的得分：\(S_{i}=\frac{D_{i}^{-}}{D_{i}^{+}+D_{i}^{-}}\)
例：
矩阵A\(\begin{bmatrix} \ 1&2&4\\2&3&5\\3&4&6\end{bmatrix}\)
每列最大值为{3，4，6}，每列最小值为{1，2，4}
第一个指标\(D_1^+=\sqrt{(3-1)^2+(4-2)^2+(6-4)^2}\)
第二个指标\(D_2^+=\sqrt{(3-2)^2+(4-3)^2+(6-5)^2}\)
第三个指标\(D_3^+=\sqrt{(3-3)^2+(4-4)^2+(6-6)^2}\)
最小值距离同理。
将上述表格计算得分
| 候选人 | 得分 |
| A | 0.122 |
| B | 0.624 |
| C | 0.622 |
归一化并转换为百分制
| 候选人 | 得分 |
| A | 8.9 |
| B | 45.7 |
| C | 45.5 |