1.问题提出

日常生活中有很多的决策问题。决策是指在面临多种方案时需要依据一定的标准选择某一种方案。

• 买衣服，一般要根据质量，颜色，价格，款式等方面的因素选择
• 旅游，要根据景色，费用，食宿条件，旅途等因素来判断去哪个地方

2.例：评价三个明星A，B，C

• 考虑一个明星可以从粉丝数，颜值，作品数量，作品质量四个方向
• A，B，C的相关数据如下

明星	粉丝数	颜值	作品质量	作品数量
A	6000W	10	6.5	25
B	3400W	6	8.1	46
C	5500W	8	7.5	31

3.归一化处理

思考：如何对明星进行评价呢，如果直接相加粉丝数+颜值+作品质量+作品数量，会导致由于粉丝数过大，会直接忽视掉其他指标，因此我们需要将指标化为同一数量级，且保证在同一指标下其差距不变。

例：将三位明星的颜值进行归一化处理：

\(A=\frac{10}{10+6+8}\) ,\(B=\frac{6}{10+6+8}\) ,\(C=\frac{8}{10+6+8}\)可以得到颜值归一化后的数据为A=0.42，B=0.25，C=0.33

明星	粉丝数	颜值	作品质量	作品数量	评分
A	0.40	0.42	0.29	0.25	1.36
B	0.23	0.25	0.37	0.45	1.30
C	0.37	0.33	0.34	0.30	1.35

此时将各项指标相加即可得出对明星的评价，但是除了归一化处理外，我们还应当分析对于不同指标在进行选择的时候重要程度是不同的，因此可以根据对指标进行加权来修改对应指标的重要程度

明星	粉丝数（0.4）	颜值（0.3）	作品质量（0.2）	作品数量（0.1）	评分
A	0.40*0.4	0.42*0.3	0.29*0.2	0.25*0.1	0.365
B	0.230*0.4	0.25*0.3	0.37*0.2	0.45*0.1	0.293
C	0.37*0.4	0.33*0.3	0.34*0.2	0.30*0.1	0.342

层次分析法（AHP）

上述的权重的设置具有较强的主观性，是不够科学的，如何严谨科学的设置权重呢？就需要使用层次分析法。

基本概念

面临各种各样的方案，要进行比较，判断，评价，直至最后的决策。这个过程中都是一些主观的因素，这些因素可能由于个人情况的不同，有相应不同的比重，所以这样主观因素给数学方法的解决带来了很多的不方便。

注意：层次分析法并不代表绝对客观，而是在相对随意去制定权重的情况下设置一个科学的标准。

模型原理

应用AHP分析问题时，首先要把问题条理化，层次化，构造出一个有层次的结构模型。在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分。这些元素又按其属性及其关系形成若干层次。上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。这些层次可以分为三类：

最高层：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果，因此也成为目标层。

中间层：这一层次包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则，子准则，因此也成为准则层。

最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施，决策方案等，因此也成为措施层或方案层。

基本步骤

运用层次分析法建立模型，大体上可以按下面四个步骤进行：

• 建立阶梯层次结构模型
• 构造出各层次中的所有判断矩阵
• 一致性检验
• 求权重后进行评价

建立阶梯层次模型

目标层：最好的明星

准测层：粉丝数，颜值，作品质量，作品数量

方案层：A,B,C

构造出各层次中的所有判断矩阵

• 对指标的重要性进行两两比较，构造判断矩阵，从而科学求出权重
• 矩阵中元素\(a_{ij}\)的意义是，第i个指标相对第j个指标的重要程度

构造判断矩阵的方法

标度	含义
1	表示两个元素相比，具有同样重要性
3	表示两个元素相比，一个因素比另一个因素稍微重要
5	表示两个元素相比，一个因素比另一个因素明显重要
7	表示两个元素相比，一个因素比另一个因素强烈重要
9	表示两个元素相比，一个因素比另一个因素极端重要
2,4,6,8	上述两相邻判断的中间值

例：粉丝数跟作品数量比明显重要，那么\(a_{14}\)=5，反过来作品质量相比粉丝数的重要性就是,\(B=\frac{1}{5}\)，因此\(a_{41}\)=\(\frac{1}{5}\)。

	粉丝数	颜值	作品质量	作品数量
粉丝数	1			5
颜值		1
作品质量			1
作品数量	\(\frac{1}{5}\)			1

构造判断矩阵

依次对变量进行两两比较，得到完整的判断矩阵，如下表所示

	粉丝数	颜值	作品质量	作品数量
粉丝数	1	2	3	5
颜值	\(\frac{1}{2}\)	1	\(\frac{1}{2}\)	2
作品质量	\(\frac{1}{3}\)	2	1	\(\frac{1}{2}\)
作品数量	\(\frac{1}{5}\)	\(\frac{1}{2}\)	2	1

注意：由于两两比较的过程中忽略了其他因素，导致最后的结果可能出现矛盾

如：\(a_{23}\) = \(\frac{1}{2}\)，颜值<作品质量，\(a_{24}\)=2，颜值>作品数量，可以推导出作品质量>作品数量，但是\(a_{34}\)=\(\frac{1}{2}\)，作品质量<作品数量，此时产生矛盾。

因此我们需要引入一致性检验

一致性检验

\(a_{ij}\)=\(\frac{i}{j}\) \(a_{ik}\)=\(\frac{i}{k}\) \(a_{kj}\)=\(\frac{k}{j}\)满足\(a_{ij}\)=\(a_{ik}\)*\(a_{kj}\)且矩阵各行（列）成倍数关系，满足这两条的矩阵是一致矩阵，不会出现矛盾情况。

一致矩阵

• 若矩阵中每个元素都大于0，且满足\(a_{ij}\)*\(a_{ji}\)=1,则我们称该矩阵为正互反矩阵。在层次分析法中，我们构造的判断矩阵均是正互反矩阵。
• 若正互反矩阵满足\(a_{ik}\)*\(a_{kj}\)=\(a_{ij}\)，则我们称其为一致矩阵。
• 在使用判断矩阵求权重之前，必须要对其进行一致性检验，以免产生矛盾。
• 一致性检验原理：检验我们构造的判断矩阵和一致矩阵是否有太大差别。

一致性检验步骤

1、计算一致性指标CI

\(CI=\frac{\lambda_{max}-n }{n-1}\)

2、查找对应的平均随机一致性指标RI

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
RI	0	0	0.52	0.89	1.12	1.26	1.36	1.41	1.46	1.49

3、计算一致性比例CR

\(CR=\frac{CI}{RI}\)

CR = 0,判断矩阵为一致矩阵

CR < 0.1判断矩阵一致

CR > 0.1判断矩阵不一致

注：特征值可使用matlab软件进行计算，可以不用了解原理

回到我们的例题，根据一致性检验算法，对我们的矩阵进行检验

	粉丝数	颜值	作品质量	作品数量
粉丝数	1	2	3	5
颜值	\(\frac{1}{2}\)	1	\(\frac{1}{2}\)	2
作品质量	\(\frac{1}{3}\)	2	1	\(\frac{1}{2}\)
作品数量	\(\frac{1}{5}\)	\(\frac{1}{2}\)	2	1

\(\lambda_{max}\) = 4.4672,n = 4,求得CI = 0.1557，查表可知RI = 0.89，计算得CR = 0.1750

CR > 0.1,判断矩阵不一致，需要修改矩阵

	粉丝数	颜值	作品质量	作品数量
粉丝数	1	2	3	5
颜值	\(\frac{1}{2}\)	1	\(\frac{1}{2}\)	2
作品质量	\(\frac{1}{3}\)	2	1	2
作品数量	\(\frac{1}{5}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)	1

\(\lambda_{max}\) = 4.1128,n = 4,求得CI = 0.0376，查表可知RI = 0.89，计算得CR = 0.0423

CR < 0.1,通过一致性检验

求权重

算数平均法求权重

• 第一步：将判断矩阵按照列归一化（每一个元素除以其所在列的和）
• 第二步：将归一化的各列相加（按行求和）
• 第三步：将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重

例：\(\begin{bmatrix}1&\frac{1}{2} \\2&1\end{bmatrix}\)先按列归一化得到\(\begin{bmatrix}\frac{1}{3} &\frac{1}{3}\\\frac{2}{3} &\frac{2}{3}\end{bmatrix}\)在将归一化的各列相加（按行求和）得到\(\begin{bmatrix}\frac{2}{3}\\\frac{4}{3}\end{bmatrix}\)最后将元素除以n = 2就可以得到权重向量\(\begin{bmatrix}\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}\end{bmatrix}\)

几何平均法求权重

• 第一步：将判断矩阵的元素按照行相乘得到一个新的列向量
• 第二步：将新的向量的每个分量开n次方
• 第三步：对该向量进行归一化即可得到权重

特征值法求权重

• 第一步：求出矩阵A的最大特征值及其对应的特征向量
• 第二步：对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重

层次分析法对应Matlab代码

%% 输入判断矩阵
clear;clc
disp('请输入判断矩阵A： ')
A = input('判断矩阵A=');
[r,c]=size(A);
error=0;
%% 判断矩阵是否为方阵并且阶数大于等于2
if r~=c || r<2
  error=1;
end
%% 判断矩阵是否大于15
if r==c&&r>15
    error=2;
end
 
%% 判断矩阵A是否为正互反矩阵
if error~=1 && sum(sum(A'.*A~=ones(r)))>0
    error=3;
end
%% 计算
if error==0
    %% 算术平均法求权重
    Sum_A = sum(A);
    [n,m] = size(A);
    SUM_A = repmat(Sum_A,n,1);
    Stand_A = A ./ SUM_A;
    sum(Stand_A,2);
    disp('算术平均法求权重的结果为：');
    disp(sum(Stand_A,2) ./ n)
    %% 方法2：几何平均法求权重
    Prduct_A = prod(A,2);
    Prduct_n_A = Prduct_A .^ (1/n);
    disp('几何平均法求权重的结果为：');
    disp(Prduct_n_A ./ sum(Prduct_n_A));
    %% 方法3：特征值法求权重
 
    [V,D] = eig(A);
    Max_eig = max(max(D));
    [r,c] = find(D == Max_eig , 1);
    V(:,c);
    disp('特征值法求权重的结果为：');
    disp( V(:,c) ./ sum(V(:,c)) )
    %% 计算一致性比例CR
    CI = (Max_eig - n) / (n-1);
    RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];  %注意哦，这里的RI最多支持 n = 15
    CR=CI/RI(n);
    disp('一致性指标CI=');disp(CI);
    disp('一致性比例CR=');disp(CR);
    if CR<0.10
        disp('因为CR < 0.10，所以该判断矩阵A的一致性可以接受!');
    else
        disp('注意：CR >= 0.10，因此该判断矩阵A需要进行修改!');
    end
elseif error==1
        disp("输入的A不为方阵或者阶数小于2")
elseif error==2
        disp("判断矩阵的阶数大于15")
elseif error==3
    disp("不为正互反矩阵")
end